Δευτέρα, 26 Μαρτίου 2018

Μαθηματικά και Κατασκευές:

Ενδεικτικά παραδείγματα από παρουσίαση σε ημερίδα στο πλαίσιο δραστηριοτήτων του Έτους Μαθηματικών για το 2018

 

Πολλές από τις κατασκευές που συναντούμε στην καθημερινότητά μας και στο περιβάλλον μας βασίζονται στα Μαθηματικά και μάλιστα σε έννοιες που υπάρχουν στο πρόγραμμα και στα βιβλία του Γυμνασίου. Ακολουθούν δυο παραδείγματα: 
Οι σκάλες
Όλοι έχουμε ανεβοκατέβει σκάλες και άλλες είναι άνετες και ξεκούραστες (ειδικά στην ανάβαση), ενώ άλλες το αντίθετο. Ορισμένες μάλιστα δίνουν την εντύπωση ότι θα πέσει κανείς, όταν τις κατεβαίνει! Γιατί άραγε;
Στην κατασκευή κλιμάκων (όπως αποκαλούνται τεχνικά οι σκάλες) ισχύουν κάποιοι μαθηματικοί κανόνες, απλοί αλλά σημαντικοί, για την άνοδο και κάθοδο, αν και όποτε χρησιμοποιούνται. Δυο σημαντικά στοιχεία είναι το ύψος (υ) και το πλάτος (π) κάθε σκαλιού όπως φαίνονται στην παρακάτω εικόνα:

Οι Α και Β φαίνεται να είναι πιο άνετες, αλλά απαιτούν περισσότερο χώρο σε ένα κτήριο (κλιμακοστάσιο). Συνήθως εφαρμόζεται μια μέση λύση για τεχνικούς / οικονομικούς λόγους, οπότε προκύπτει μια σκάλα λιγότερο αναπαυτική και ξεκούραστη. Όμως ο αριθμός των σκαλιών είναι πάντα ακέραιος, καθώς και το ύψος – πλάτος ίδιο σε κάθε σκαλί. Μάλιστα όσο μικραίνει το μήκος της σκάλας τόσο μεγαλώνει το ύψος, οπότε η ανάβαση είναι δύσκολη και κουραστική.
Η ασφάλεια μιας σκάλας εξαρτάται από την κλίση της και για τον υπολογισμό της λαμβάνεται υπόψη το μήκος του βηματισμού ενός ενήλικα σε επίπεδο έδαφος (62 cm) και ισχύει η σχέση π + 2υ = 62 cm (αν π = 28, τότε υ = 17), δηλαδή όσο χαμηλότερο το ύψος τόσο πιο πλατιά τα πατήματα (κτήρια Μεσαίωνα-Αναγέννησης).
Στις σημερινές κατασκευές το ύψος κάθε σκαλιού δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 18 cm. Δεδομένου ότι το σύνηθες ύψος κάθε ορόφου είναι 3,06 cm, τότε τα σκαλιά σε κάθε όροφο είναι 17 (ή 18, αν το ύψος τους είναι 17 cm).
Σε μεγάλα κτήρια όμως μπορεί να μεσολαβήσει και πλατύσκαλο. Από κατασκευαστική εμπειρία μια άνετη σκάλα έχει κλίση ½, δηλαδή εφω = ½, οπότε υ / π = ½.και ω = 27ο.
Οι στροφές
Όταν κινούμαστε με αυτοκίνητο, ορισμένες φορές (ιδιαίτερα σε επαρχιακούς δρόμους) αισθανόμαστε έντονα κάποιες στροφές. Μάλιστα όσο πιο ‘κλειστή’ είναι μια στροφή τόσο πιο επικίνδυνη είναι. Αυτό το γεγονός σχετίζεται με τα Μαθηματικά και μάλιστα με γεωμετρικά μεγέθη γνωστά, όπως η ακτίνα και η γωνία.
Ας παρατηρήσουμε τη μορφή ενός δρόμου, όπως στην επόμενη εικόνα, όπου φαίνεται να αποτελείται από τμήματα δακτυλίων, που κάθε ένα καθορίζεται από τόξα ομόκεντρων κύκλων με κέντρα Ο1, Ο2, Ο3 αντίστοιχα :

Το εμβαδόν του τμήματος ΜΑΒΝ είναι η διαφορά των κυκλικών τομέων Ο1ΝΒ και Ο1ΜΑ. Για τον υπολογισμό της επιφάνειας κυκλικού τομέα ισχύει ο τύπος Ε = πρ2μ/360ο, ενώ για το μήκος τόξου ο τύπος S = 2πρμ/360o.  Και στους δυο τύπους τα μεγέθη που μεταβάλλονται είναι η επίκεντρη γωνία (μ) και η ακτίνα (ρ).

Στα επόμενα σχήματα οι επίκεντρες γωνίες είναι ίδιες, αλλά οι ακτίνες διαφέρουν. Όσο πιο μικρή η ακτίνα τόσο πιο κλειστή η στροφή.

Περισσότερα για τα ανωτέρω, καθώς και άλλα θέματα υπάρχουν στα παρακάτω περιοδικά της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Ε.Μ.Ε.).
«Γιατί δεν ‘πέφτει’;», Ευκλείδης Α΄, τχ. 38, 2000
«Πυθαγόρειο Θεώρημα και κατασκευές», Ευκλείδης Α΄, τχ. 41, 2001
«Έτσι γίνονται οι στέγες», Ευκλείδης Α΄, τχ. 43, 2002
«Οι στροφές», Ευκλείδης Α΄, τχ. 48, 2003
«Σχετικά με τις σκάλες», Ευκλείδης Α΄, τχ. 51, 2004
Πηγή: https://www.esos.gr/arthra/57048/mathimatika-kai-kataskeyes-endeiktika-paradeigmata-apo-paroysiasi-se-imerida-sto